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domingo, 14 de septiembre de 2014

Fractional continuous derivatives / Derivada continua y fracional

Partiendo del concepto de derivada:
On the basis of the concept of derivative:

Véase / See:

Se puede ver fácilmente que: / You can easily see: ∃ n ∈ N;  dnf(x)/(dn) n.

El cambio importante es hacer que n pase a format parte de los numeros reales, n ∈ R.
The significant change is to get that "n" becomes a real number, ∈ R.

Primeros ejemplos sencillos First simple examples

Monomios: / Monomials:


f(x)=x n.;   f'=n·x n-1.;      f''=n·(n-1)·x n-2;      f'''=n·(n-1)·(n-2)·x n-3.;      f''''=n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·x n-3;   

f (m=n!/(n-m)!·x n-m;   


F(x)=x 5 y sus sucesivas derivadas enteras.
F(x)=x 5  and itssuccessive integer derivatives .
Para poder pasar de [∈ N] a [m ∈ R]
We change [m ∈ N] to [m ∈ R]

f (m=Γ(n+1)/Γ(n+1-m)·x n-m;   
F(x)=x 5 y las derivadas 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1
F(x)=x 5 and the drerivatives 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 and 1

Donde la función Γ(n) es la función Gámma: 
Where Γ (n) function is the gamma function:
Un ejemplo sencillo sería con la / simple example with f(x)=x 4f (1/2(x)=Γ(1.5)/Γ(4.5)·x 3.5;   


Seno y coseno

f(x)=sen(x).;   f'=cos(x);  f''=-sen(x);   

O si se prefiere: or whether you prefer:
f(x)=sen(x).;   f'=sen(x+π/4);  f''=sen(x+2·π/4);   

f (m=sen(x-m·π/4);   



Ejemplos más complicados: / Examples more complicated:

Se toma una f(x), se obtiene la trnsformada de Taylor y se utiliza la regla de cada monomio:
We take a function f(x), we get the Taylor transform, and use the same rule for each monomial:

Véase: /  See


Inciso;Resolución de exponentes con números complejos:

Subsection; Resolution of complex numbers with complex exponents:

Antes de adentrarnos en solucionar funciones con raíces lo primeros es conocer como se resuelve un número complejo elevado a un exponente complejo:
Before going to solve functions with roots, the first is known how it is a complex number elevated a a complex exponent:

(a+bi)(c+di)=e(c·ln((a²+b²))-d·atn(b/a))·[cos(c·atn(b/a)+d·ln((a²+b²))+i·sen(c·atn(b/a)+d·ln((a²+b²))]


En nuestro caso, casi siempre a<0, b=d=0 Lo cual simplifica a:
In our case, usually a<0 and b=d=0 Which simplifies to:

ac=|a|c·[cos(c·π)+i·sen(c·π)]

Dado que, As: tan(π) =  tan(0) = 0.

Ahora ya podemos dibujar la parte positiva y negativa de las funciones derivadas resultantes. Para ver como queda se edita el siguiente vídeo:
Now we can draw positive and negative part of the resulting derivative functions. To see how it is edited the following video:

Inciso; Subderivada de una constante / Subsection; Subderivative of a constant.



f(x)=k=k·x 0.;



f (m=k·0!/(0-m)!·x -m;   
f (m=k·Γ(1)/Γ(1-m)·x -m;  
f (m=k/Γ(1-m)·x -m;  

Subderivada de / subderivative of ex;



f(x)=e x.= 1+x+x 2/2!+x 3/3!+x 4/4!+x 5/5!+x 6/6! ...

f (m=1/Γ(1-m)·x 0-m+Γ(2)/Γ(2-m)·x 1-m+Γ(3)/Γ(3-m)·x 2-m+Γ(4)/Γ(4-m)·x 3-m+Γ(5)/Γ(5-m)·x 3-m...



Un regalo. Las subderivadas del coseno hiperbólico:
A gift. The hiperbolic cosine subderivatives:



Si quieres utilizar el programa que he usado para crear estos dubujos descárgalos de aquí (hecho en VB6):
If you want use the program I have make to do this graphs, download form here (make with VB6):

Luis Nieto

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