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martes, 11 de noviembre de 2014

Tunaritmos: The changeless tirhd derivative / La inmutable tercera derivada


Era el año 1987 cuando me hice una pregunta ¿Cual sería la función cuya tercera derivada fuera ella misma?. Todo el mundo sabía que d(ex)/dx=ex. Que d2(Sh(x))/d2x=Sh(x) y d2(Ch(x))/d2x=Ch(x). Pero ¿cuales son el trío de funciones que d3(Tn(x))/d3x=Tn(x) .

Les di un nombre, Tunaritmos. No recuerdo porqué. Supongo que tendría una razón para ello. Me dispuse a deducirlas.

It was 1987 when I asked myself: What would be the function whose third derivative was herself ?. Everyone knew that d(ex)/dx=ex, and that d2(Sh(x))/d2x=Sh(x) y d2(Ch(x))/d2x=Ch(x). But, what are the trio of functions that d3 (Tn (x)) / d3x = Tn (x).

I gave them a name, Tunaritmos. I do not remember why. I guess I'd have a reason for it. I started to deduct.



Pensando un poco imaginé cual sería la serie de Taylor que tendrían:

With a little thought, I figured that would be the Taylor series that would have them:

      Tni(x) = 1 + x³/3! + x⁶/6! + x⁹/9! + ... + x³n/(3n)!
      Tnj(x) = x2/2! + x5/5! + x8/8! + ... + x³n+2/(3n+2)!
      Tnk(x) = x/1! + x4/4! + x7/7! + x10/10!+ ... +x³n+1/(3n+1)!

De tal forma que / Compliant to
           
                          Tni(x) + Tnj(x) + Tnk(x) = ex .

APLICANDO LAPLACIANOS


Se sabe que: It is know that:  d3(Tn(x))/d3x=Tn(x)
              Tni(0) = 1.
              Tnj(0) = 0.
              Tnk(0) = 0.

L(y) = L(y''') = p3L(y) – p2y0 – py0' – py0'' →
      L(y)[1-p3] = -p2
     → Tni(x) = [ex +2e-x/2·cos(3x/2)]/3

De igual manera. Similarly:
  L(y)[1-p3] = - 1 → Tnj(x) = [ex -e-x/2·( cos(3x/2) + 3sen(3x/2))]/3
 L(y)[1-p3] = - p → Tnk(x) = [ex -e-x/2·( cos(3x/2) - 3sen(3x/2))]/3

Pensando un poco más, la solución general que satisface: d3(Tn(x))/d3x=Tn(x) es:
Thinking a little more, the general solution that satisfies d3(Tn(x))/d3x=Tn(x) is:

     T(x) = k1·ex + k2·e(-1/2 +√3i)x + k3·e(-1/2 -√3i)x

Or with:  a=(-1/2 +√3i) and b=(-1/2 -√3i)

Tni(x) = 1/3 · (ex + eax + ebx)
Tnj(x) = 1/3 · (ex + aeax + bebx)
Tnk(x) = 1/3 · (ex + beax + aebx)

Nota / Note:  1,a & b son las raices de / Are the roots of 31=1.



LAS GRÁFICAS DE LOS TUNARITMOS

Para valores negativos: For negative values:


Para valores positivos: For positiv values



Falta el saber la utilidad. I do not know its usefulness.

De aquí saltaremos a los triplejos. Complejos de tres dimensiones.
Al igual que existen números complejos : a+bi, por ejemplo. Crearemos los triplejos : a+bi+cj. Pero esos será otra historia.

From here jump to the 3-complex. Imaginary numbers with three dimensions.
There are imaginary numbers as the way (a + bi), for example. We will create the 3complex: a + bi + cj. But those will be another story.

Os dejo un enlace con una hoja de cálculo (en LibreOffice) para obtener estas gráficas:
I leave a connection to a spreadsheet (in FreeOffice) for these graphs:

https://www.dropbox.com/s/acg57ttyldj7bvp/tunaritmos.ods?dl=0















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