Funciones Matrioskas

Como ya viéramos con la  derivación fracionaria (Véase: http://carreteras-laser-escaner.blogspot.com.es/2014/10/fractional-continuous-derivatives.html) ahora vamos a intentar hacer lo mismo con las funciones Matrioskas

Definición ¿Qué es?

Una función Matrioska está definida como la función de funciones cuyo índice indica el grado de anidamiento de una función en sí misma. La denominación más extendida es función recurrente y en programación se denomina recursividad. Aquí lo que queremos es añadir el concepto de grado de recursividad en una nueva función denominada Matrioska en la que se incorporará como parámetro de la misma.

Veámos un ejemplo:

Sea f(x)=x²+1

M₁(f(x))= x²+1

M₂(f(x))= (x²+1)²+1=x⁴+2x²+2

M₆(f(x))=f(f(f(f(f(f(x))))))

Propiedades por coherencia

Como 

M_a(M_b(f(x))=M_a+b(f(x))

Por coherencia .si M₀(M_b(f(x))=M_0+b(f(x))=M_b(f(x))

M₀(f(x))=x, ∀ f(x). Sería nuestra Matrioska neutra.

Si M_a(M_-1(f(x))=M_a-1(f(x)), eliminar un anidamiento equivale a aplicar una inversa

M_-1(f(x))=f^-1(x), es decir la inversa.

La continuidad del índice ¿ i € ℜ ó sólo i € Z?

Al igual de lo que sucediera con las subderivadas, nuestra intención es la de buscar la continuidad del subíndice.

Esta tarea resulta francamente difícil, imposible a priori. Aún no hemos encontrado un método eficaz de calcularla. (en las futuras entregas veremos que sí) hay métodos aproximados).

Para casos sencillos como por ejemplo con f(x)=ax^b.

M₂= a(ax^b )^b =a^b+1x^b2

M_n= a^αx^β,, donde α=b^n-1+b^n-2+…+b+1=(bⁿ-1)/(b-1),, β=bⁿ.

Caso particular: M_0.3(3x⁵)=1.1859x^1.62065.   Ya que α=(5^0.3-1)/(5-1)=0.552 → 3^0.552=1.1859. 

En el momento en que se complica un poco Por ejemplo, con f(x)=x²+1. No sólo se vuelve cansino transcribir M10(x²+1) sino que resultará aparentemente imposible conseguir M0.3(x²+1)