Transmutación de funciones

Con este título tan rimbombante hemos querido empezar a gestionar un problema matemático que nos parece muy interesante. Se trata de buscar la secuencia de funciones que permiten de forma continua transformar una función en otra.

Planteamiento:

Dada una función origen f(x) y otra función destino g(x) definiremos T₁=f(x) y T₂=g(x). La forma más sencilla de transmutación seria de tipo lineal:

T_e=-(e-2)f(x)+(e-1)g(x)

Que en el caso de f(x)=sen(x) y g(x)=x²/2-2 nos darían unas gráficas del siguiente estilo:

Si volviéramos al artículo anterior con el tema de las funciones Matrioskas. Con el caso particular de M_n= a^αx^β con f(x)=ax^b, donde α=b^n-1+b^n-2+…+b+1=(bⁿ-1)/(b-1),, β=bⁿ. Podríamos comprobar su grado de aproximación.

Sea f(x)=3x² ,

Me=3^(2^e-1)*x^(2^e)

T_e=-(e-2)3x² +(e-1)27x⁴ 

Sorprende ver la similitud entre ambas transformaciones:

Claro está que podemos añadir una función más a la transmutación de funciones. 

Incorporemos una tercera.

1º Sea el trío de funciones f(x)=seno(x), g(x)=x²/2-2 y h(x)=cos(2x).

2º Definiremos T₁=f(x), T₂=g(x) y T₃=h(x).

3º Buscaremos la más simple transmutación con polinomios e de segundo grado:

4º Solución: T_e=0.5(e-2)(e-3)f(x) -(e-1)(e-3)g(x) + 0.5(e-1)(e-2)h(x)

Por otro lado, si volvemos a nuestro ejemplo de Matrioska con un trío de funciones:

Me=3^(2^e-1)*x^(2^e)

T_e=0.5(e-2)(e-3)3x² -(e-1)(e-3)27x⁴ -(e-1)(e-2)243x⁸ 

Observaremos que aproxima mejor:

En las siguientes entregas veremos que en nuestra fórmula general:

T_e=E₁(e)f₁(x)+ E₂(e)f₂(x)+ E₃(e)f₃(x)+ E₄(e)f₄(x)+… = Σ E_i(e)f_i(x)

1.- Cómo se calculan fácilmente los polinomios de escala  E_i(e) 

2.- Cómo se calcula una inversa cualquiera con transmutación y Matrioskas

3.- Otra forma de buscar subderivadas